TEORÍA DE LOS NÚMEROS

TEORÍA DE LOS NÚMEROS

Números Naturales: 

En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de ciertos conjuntos,​ como también en operaciones elementales de cálculo. Son aquellos números naturales los que sirven para contar elementos por lo que son naturales por ejemplo: 6,7,8,9… Por definición convencional se dirá que cualquier elemento del siguiente conjunto, ℕ = {6, 7, 8, 9, …}, es un número natural.​ De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo,​ por lo que el conjunto de los números naturales es ordenado e infinito.

Números Enteros:

Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,\cdots \}}$, sus opuestos y el cero.¹​ Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que cero y todos los enteros positivos. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, se puede escribir un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Y si no se escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,\,...\}}$ letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado

Números Primos:

En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.¹​²​ Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1, y, por lo tanto, pueden factorizarse. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Números Compuestos: 

Número compuesto es cualquier número natural no primo, a excepción del 1. Es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el término divisible para referirse a estos números.

Los 30 primeros números compuestos son:

Divisibilidad:

La divisibilidad es la cualidad de un cuerpo u objeto de dividirse. Dividir significa separar de un total en partes iguales. La diferencia entre dividir y divisibilidad es que la divisibilidad tiene un resultado medible y exacto.

Dividir también puede ser definido como una cualidad tanto positiva como negativa de una persona. Por ejemplo, una persona que divide puede significar que es generosa, altruista y justa o, en otro contexto, puede significar que es una persona fría y racional.

Criterios De Divisibilidad:

Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.
Aunque pueden buscarse criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:
Criterio de divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o cifra par.
Ejemplos:
Números divisibles por 2: 36,94,521342,40,...
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplos:
Números divisibles por 3: 36,2142,42,...
Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o es 0.
Ejemplos:
Números divisibles por 5: 35,2145,40,...
Criterio de divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplos:
Números divisibles por 9: 495,945,53640,...


Mínimo Común Múltiplo (MCM):
En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural distinto de cero que es múltiplo común de todos ellos (o el ínfimo del conjunto de los múltiplos comunes). Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o Número complejo.

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será

${\displaystyle {\begin{array}{r|l}72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}}}$ ${\displaystyle 72=2^{3}\cdot 3^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}}}$ ${\displaystyle 50=2\cdot 5^{2}\,}$

Tomando los factores con su mayor exponente, tenemos que:

${\displaystyle \operatorname {mcm} (72,50)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=1800}$

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

${\displaystyle \operatorname {mcm} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {MCD} (a,b)}}}$

Máximo Común Divisor:
En matemáticas, se define el máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar residuo alguno.

Dados ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ dos números enteros distintos de cero. Si un número ${\displaystyle c}$ divide a ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, es decir, ${\displaystyle c|a}$ y ${\displaystyle c|b}$, diremos que ${\displaystyle c}$ es divisor común de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$.¹​ Obsérvese que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Si los divisores comunes de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son únicamente 1 y -1 entonces diremos son primos entre sí.

Un número entero d se llama máximo común divisor (MCD) de los números a y b cuando:

1. d es divisor común de los números a y b
2. d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b.

Ejemplo:

12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y -12 que son divisores comunes de 36 y 60.²​

Los tres métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:Por descomposición en factores primos

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.

Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos.

${\displaystyle {\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}}}$ ${\displaystyle 48=2^{4}\cdot 3\,}$

${\displaystyle {\begin{array}{r|l}60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}}}$ ${\displaystyle 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5\,}$

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

${\displaystyle \operatorname {MCD} (48;60)=2^{2}\cdot 3=12}$

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera.